Introducción a la teoría espectral de los operadores no lineales

Abstract

¿Cómo se podría introducir un espectro para operadores no lineales que pueda preservar las propiedades “agradables” del caso lineal, pero que admita aplicaciones interesantes a una variedad amplia de problemas no lineales? Esta va hacer la pregunta que va a proveer el enfoque principal de este minicurso. Tomando en cuenta la importancia de la teoría espectral para los operadores lineales en análisis funcional, teoría de los operadores, y mecánica quantistica, no es sorprendente que varios intentos hayan sido tomados para introducir y estudiar espectros también para muchas otras clases de operadores no lineales como los operadores contínuos, diferenciables o contínuos en el sentido de Lipschitz. Esto ha sido hecho principalmente en analogía al caso lineal. Sin embargo, veremos que es descarriador sino peligroso transferir nociones directamente de la teoría lineal, porque los espectros definidos de esta manera resultan ser generalmente de uso muy limitado. Por otro lado, existen otros espectros no lineales que son todos basados sobre ciertas propiedades de compacidad: Uno de ellos es de carácter “asintótico”, otro “global”, y otro todavía “local”. A pesar de sus definiciones bastante técnicos, estos espectros tienen aplicaciones sorprendentes a varios problemas de análisis no lineal. En particular, discuteremos algunas aplicaciones de estos espectros a las llamadas “alternativas de Fredholm no lineales”, como algunos problemas de autovalores no lineales para el operador p-Laplace que surge in muchos campos de matemáticas aplicadas, mecánica, física e ingenería. Todo el material presentado en este minicurso se puede hallar, con mucho más ejemplos y aplicaciones, en la monografía [2].